ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Esta semana no he actualizado mucho porque me reservaba para el último día. Ahora que ya hemos visto todo lo que voy a explicar sobre las ecuaciones os lo dejo aquí plasmado y, así, no os hago tanto lío.

Recordad que existen ecuaciones muy complicadas, diferentes y con una o varias incógnitas, pero aquí nos vamos a centrar solo en las de primer grado sin denominadores (las más sencillitas, podríamos decir).

Para empezar os pongo algunas normas sueltas y, ya al final, los pasos que seguiremos para resolver una ecuación. Vamos a ello.

 

Una ecuación es una igualdad, es decir, una expresión matemática en la que tenemos operaciones o números a ambos lados del signo matemático de igual. Un ejemplo de igualdad sería la siguiente:

3 + 4 = 7

Como lo que hay a ambos lados del signo de igual vale lo mismo, decimos que es una igualdad.

La peculiaridad de las ecuaciones es que son igualdades en las que desconocemos, al menos, alguno de los números, que sustituimos por letras. Por ejemplo, si me dicen que la altura de un árbol es el doble que la de un arbusto de 1,5 metros, yo puedo llamar a la altura del árbol por una letra, y decir que es igual a 1,5 por 2: 

x (altura del árbol) = 1,5 · 2.

Podemos utilizar cualquier letra que se nos ocurra pero, por norma general y convenio, utilizaremos la x, a la que llamamos incógnita de la ecuación.

Los números sueltos que haya en la ecuación no representan ninguna incógnita y podremos operar con ellos siguiendo unas reglas. A cada uno de estos números lo llamamos término independiente.

Además una ecuación se divide en dos miembros: el primero (que incluye todos los términos e incógnitas al lado izquierdo del signo de igualdad) y el segundo (que incluye a los de la derecha).

En una ecuación lo que queremos es averiguar el valor de la incógnita, para lo que tenemos que "despejarla", lo que quiere decir que tenemos que ir simplificándola hasta que nos quede una expresión del tipo x = 9, donde el 9 lo he puesto como ejemplo, pero puede ser cualquier número, positivo a o negativo, y sería la solución de la ecuación.

Un número delante de una incógnita (letra) nos indica el número de veces que tenemos esa incógnita. Matemáticamente lo que hace ese número es multiplicar a la incógnita, como en otras operaciones con números de la vida real: si tengo 4 sacos de patatas y cada saco cuesta 2 euros, el 4 multiplica al 2 para calcular el total (4·2 o 2+2+2+2). Si yo no supiese el precio y le llamase "x", sería lo mismo, 4 sacos por "x" (4x = 4·x = x+x+x+x). A estos números delante de incógnitas se les denomina coeficientes.

 

Vamos a ver ahora los pasos que hay que seguir para resolver una ecuación con una como ejemplo en la que iremos realizando los pasos.

Ejemplo:       6x - 8 = 3x + 4 - x

1º Pasamos a un miembro (lado) todos los números sueltos (términos independientes) y al otro todos los que tengan "x" (incógnitas). Los que no cambian de lado mantiene su signo. Los que cambian, cambian de signo.

Ejemplo:       6x - 8 = 3x + 4 - x

                     6x - 3x + x = 4 + 8

En este caso hemos decidido poner todos los términos independientes a la derecha y las incógnitas a la izquierda, de tal forma que nos quedan en el primer miembro el 6x (mantiene su signo por no cambiar de lado), el 3x (pasa a -3x por cambiar de lado) y el -x (también cambia de signo a +x por cambiar de lado) y en el segundo el 4 (no cambia de lado ni de signo) y el -8 (pasa a +8 al cambiar de lado).

2º Hacemos las operaciones de cada miembro.

Ejemplo:        4x = 12

En el miembro de la izquierda nos queda 4x, ya que teníamos 6 (6x) le restamos 3 (-3x) y le añadimos 1 (+x). 6x - 3x + x = 4x.

En el miembro de la derecha nos queda 12 (4 + 8 = 12).

3º Nuestro objetivo final es tener x = algo.

Se pueden dar tres casos llegados a este punto:

- Que tengamos x = algo: ya estaría resuelta (ejemplo: x = 5).

- Que la x sea negativa: tenemos que cambiar el signo de la "x" y del resultado al otro lado (ejemplo:  -x = 7 pasaría a x = -7, cambiamos el signo de la "x" de negativo a positivo y el del 7 de positivo a negativo y ya estaría resuelta).

- Que haya un número (coeficiente) delante de la "x": en este caso pasamos ese número, incluyendo su signo sin cambiarlo, a dividir al resultado al otro lado. Lo calculamos y listo. Este es el caso del ejemplo con el que hemos empezado, y volviendo a él:

4x = 12

x = 12 : 4

x = 3

Recordad al hacer la última división que hay que aplicar las reglas de los signos en división:

+ : + = +

 - : - = +

+ : - = +

- : + = -

 

Además, algo interesante de las ecuaciones es que, una vez resueltas, podemos comprobar por nosotras mismas si el resultado es el correcto. ¿Cómo? Cambiando en la ecuación original, la que hemos empezado a resolver, las incógnitas por el valor que nos ha dado como resultado. En el ejemplo que hemos hecho sería cambiar las "x" por 3, lo que quedaría así:

6x - 8 = 3x + 4 - x

6·3 - 8 = 3·3 + 4 - 3

Hacemos las operaciones a cada lado y comprobamos si nos da el mismo resultado:

18 - 8 = 9 + 4 - 3

10 = 10

Si nos da lo mismo, se cumple la igualdad y el resultado es correcto. De no serlo... ¡mala suerte!. Hay que volver a empezar poniendo atención en no equivocarnos de nuevo.

 

Con esto terminamos las explicaciones de ecuaciones. La semana que viene (última ya del curso, al menos para matemáticas) veremos algo de longitudes, áreas y el teorema de Pitágoras. ¡Buen fin de semana!